Funkcie

Pre animované PDF súbory je najlepšie použiť Adobe Reader

(iné programy, resp. zásuvné moduly preliadača nemusia postačovať a súbor nemusí byť úplne funkčný)

Elementárne funkcie

	Elementárne funkcie – polynóm $f_n\colon y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – racionálna lomená funkcia $f\colon y=\frac{f_n(x)}{f_m(x)}=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n}{b_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+b_mx^m}$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – mocninná funkcia $f\colon y=x^r$, $r\!\in\!R$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – exponenciálna funkcia $f\colon y=\mathrm{e}^x$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – goniometrické funkcie ($\sin{x}$, $\cos{x}$, $\mathrm{tg}\,x$, $\mathrm{cotg}\,x$) Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – goniometrické funkcie – funkcie $\sin{x}$, $\cos{x}$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – goniometrické funkcie – funkcie $\sin{x}$, $\cos{x}$ – dôležité hodnoty Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – goniometrické funkcie – funkcie $\sin{x}$, $\cos{x}$ – súčtové vzorce Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – goniometrické funkcie – funkcie $\mathrm{tg}\,x$, $\mathrm{cotg}\,x$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – goniometrické funkcie – vzťahy medzi funkciami Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – cyklometrické funkcie ($\arcsin{x}$, $\arccos{x}$, $\mathrm{arctg}\,x$, $\mathrm{arccotg}\,x$) Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – cyklometrické funkcie – funkcie $\arcsin{x}$, $\arccos{x}$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – cyklometrické funkcie – funkcie $\mathrm{arctg}\,x$, $\mathrm{arccotg}\,x$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie – funkcie $\sinh{x}$, $\cosh{x}$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie – funkcie $\sinh{x}$, $\cosh{x}$ – súčtové vzorce Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie – funkcie $\mathrm{tgh}\,x$, $\mathrm{cotgh}\,x$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie – vzťahy medzi funkciami Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – hyperbolometrické funkcie – funkcie $\mathrm{argsinh}\,x$, $\mathrm{argcosh}\,x$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.
	Elementárne funkcie – hyperbolometrické funkcie – funkcie $\mathrm{argtgh}\,x$, $\mathrm{argcotgh}\,x$ Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

Vlastnosti funkcií

	Geometrická konštrukcia inverznej funkcie Jednoduchý algoritmus ako z grafu funkcie$f$ vytvoriť inverznú funkciu$f^{-1}$.
	Spojitosť funkcie na uzavretom intervale Ak je funkcia$f$ spojitá na uzavretom (t.j. aj ohraničenom) intervale$\langle a,b\rangle$, potom je funkcia $f$ na$\langle a,b\rangle$ ohraničená, obor hodnôt$f(I)$ je uzavretý interval afunkcia$f$ nadobúda na$\langle a,b\rangle$ svoje extrémy.
	Spojitosť funkcie na neuzavretom intervale Ak je funkcia$f$ spojitá na neuzavretom intervale$\langle a,b\rangle$, potom obor hodnôt$f(I)$ môže byť otvorená, uzavretá alebo ani otvorená ani uzavretá množina a na druhej strane ohraničená alebo aj neohraničená množina.
	Metóda bisekcie na hľadanie koreňov spojitej funkcie Jednoduchá ale pomerne prácna metóda na hľadanie koreňov spojitej funkcie na uzavretom intervale. Väčšinou sa používa ako štartovacia metóda pre iné metódy.
	Riešený príklad na metódu bisekcie Nájdite s presnosťou$\varepsilon=0,01$ korene funkcie$f\colon y=x^3-3x+1$.

Derivácia funkcie a jej využitie

	Geometrická interpretácia (smernica dotyčnice) derivácie funkcie Smernica dotyčnice $\mathrm{tg}\,\varphi=\lim\limits_{\alpha\to\varphi} \mathrm{tg}\,\alpha=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
	Fyzikálna interpretácia (okamžitá rýchlosť) derivácie funkcie Okamžitá rýchlosť $v(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0} \overline{v}(t)=\lim\limits_{t\to t_0} \frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$.
	Nutná podmienka existencie extrému Ak má funkcia $f$ v bode $c\in D(f)$ (vnútornom) lokálny extrém a $f'(c)$ existuje, potom platí $f'(c)=0$, t.j. dotyčnica v bode $c$ grafu funkcie $f$ je rovnobežná s osou$x$.
	Postačujúca podmienka existencie extrému Ak je funkcia $f$ v ľavom okolí bodu $x_0$ rastúca (resp. klesajúca) a v pravom okolí bodu $x_0$ klesajúca (resp. rastúca), potom má v bode $x_0$ ostré lokálne maximum (resp. ostré lokálne minimum).
	Vzťah medzi monotónnosťou a deriváciou funkcie Spojitá funkcia $f$ je na intervale $I\subset D(f)$ konštantná, ak pre všetky $x\in I$ platí $f'(x)=0$. Funkcia $f$ je na $I$ rastúca (resp. neklesajúca), ak $\forall x\in I$ platí $0\lt f'(x)$ (resp. $0\le f'(x)$). Funkcia $f$ je na $I$ klesajúca (resp. nerastúca), ak $\forall x\in I$ platí $0\gt f'(x)$ (resp. $0\ge f'(x)$).
	Rolleho veta o strednej hodnote Ak je funkcia $f$ spojitá na $\langle a, b\rangle$, $f(a)=f(b)$ a pre všetky $x\in(a,b)$ existuje $f'(x)$ (aj nevlastná), potom existuje aspoň jedno $c\in(a,b)$ také, že $f'(c)=0$, t.j. dotyčnica v bode $c$ ku grafu funkcie $f$ je rovnobežná s osou$x$.
	Lagrangeova veta o strednej hodnote Ak je funkcia $f$ spojitá na $\langle a, b\rangle$ a pre všetky $x\in(a,b)$ existuje $f'(x)$ (aj nevlastná), potom existuje aspoň jedno $c\in(a,b)$ také, že $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, t.j. dotyčnica v bode $c$ ku grafu funkcie $f$ je rovnobežná s priamkou spájajúcou body $[a,f(a)]$ a $[b,f(b)]$.