Funkcie

Pre animované PDF súbory je najlepšie použiť Adobe Reader

(iné programy, resp. zásuvné moduly preliadača nemusia postačovať a súbor nemusí byť úplne funkčný)

Elementárne funkcie

funkciepolynom

Elementárne funkcie – polynóm $f_n\colon y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciaracionalna

Elementárne funkcie – racionálna lomená funkcia $f\colon y=\frac{f_n(x)}{f_m(x)}=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n}{b_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+b_mx^m}$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciamocninna

Elementárne funkcie – mocninná funkcia $f\colon y=x^r$, $r\!\in\!R$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciaexponencialna

Elementárne funkcie – exponenciálna funkcia $f\colon y=\mathrm{e}^x$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciegoniometricke

Elementárne funkcie – goniometrické funkcie ($\sin{x}$, $\cos{x}$, $\mathrm{tg}\,x$, $\mathrm{cotg}\,x$)

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciesinuskosinus2

Elementárne funkcie – goniometrické funkcie funkcie $\sin{x}$, $\cos{x}$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciesinuskosinus2

Elementárne funkcie – goniometrické funkcie funkcie $\sin{x}$, $\cos{x}$ dôležité hodnoty

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciesinuskosinus2

Elementárne funkcie – goniometrické funkcie funkcie $\sin{x}$, $\cos{x}$ súčtové vzorce

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkcietangensakotangens

Elementárne funkcie – goniometrické funkcie funkcie $\mathrm{tg}\,x$, $\mathrm{cotg}\,x$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkcietangensakotangens

Elementárne funkcie – goniometrické funkcievzťahy medzi funkciami

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciecyklometricke

Elementárne funkcie – cyklometrické funkcie ($\arcsin{x}$, $\arccos{x}$, $\mathrm{arctg}\,x$, $\mathrm{arccotg}\,x$)

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciearkussinuskosinus

Elementárne funkcie – cyklometrické funkcie funkcie $\arcsin{x}$, $\arccos{x}$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciearkustangenskotangens

Elementárne funkcie – cyklometrické funkcie funkcie $\mathrm{arctg}\,x$, $\mathrm{arccotg}\,x$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciesinuskosinushyp

Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie funkcie $\sinh{x}$, $\cosh{x}$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciesinuskosinushyp

Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie funkcie $\sinh{x}$, $\cosh{x}$ súčtové vzorce

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkcietangensakotangenshyp

Elementárne funkcie – hyperbolické funkcie funkcie $\mathrm{tgh}\,x$, $\mathrm{cotgh}\,x$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciehyperbolicke

Elementárne funkcie – hyperbolické funkcievzťahy medzi funkciami

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciehyperbolometricke

Elementárne funkcie – hyperbolometrické funkcie funkcie $\mathrm{argsinh}\,x$, $\mathrm{argcosh}\,x$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.

funkciehyperbolometricke

Elementárne funkcie – hyperbolometrické funkcie funkcie $\mathrm{argtgh}\,x$, $\mathrm{argcotgh}\,x$

Elementárne funkcie sú všetky, ktoré sa dajú utvoriť zo základných elementárnych funkcií ($\text{konšt.}$, $x$, $\mathrm{e}^x$, $\mathrm{ln}\,{x}$, $\sin{x}$, $\arcsin{x}$, $\mathrm{arctg}\,{x}$) pomocou sčítania, odčítania, násobenia, delenia a skladania funkcií.


Vlastnosti funkcií

inverznafunkcia

Geometrická konštrukcia inverznej funkcie

Jednoduchý algoritmus ako z grafu funkcie$f$ vytvoriť inverznú funkciu$f^{-1}$.

spojitost02

Spojitosť funkcie na uzavretom intervale

Ak je funkcia$f$ spojitá na uzavretom (t.j. aj ohraničenom) intervale$\langle a,b\rangle$, potom je funkcia $f$ na$\langle a,b\rangle$ ohraničená, obor hodnôt$f(I)$ je uzavretý interval afunkcia$f$ nadobúda na$\langle a,b\rangle$ svoje extrémy.

spojitost02

Spojitosť funkcie na neuzavretom intervale

Ak je funkcia$f$ spojitá na neuzavretom intervale$\langle a,b\rangle$, potom obor hodnôt$f(I)$ môže byť otvorená, uzavretá alebo ani otvorená ani uzavretá množina a na druhej strane ohraničená alebo aj neohraničená množina.

bisekcia

Metóda bisekcie na hľadanie koreňov spojitej funkcie

Jednoduchá ale pomerne prácna metóda na hľadanie koreňov spojitej funkcie na uzavretom intervale. Väčšinou sa používa ako štartovacia metóda pre iné metódy.

prikladbisekcia

Riešený príklad na metódu bisekcie

Nájdite s presnosťou$\varepsilon=0,01$ korene funkcie$f\colon y=x^3-3x+1$.


Derivácia funkcie a jej využitie

Derivacia1

Geometrická interpretácia (smernica dotyčnice) derivácie funkcie

Smernica dotyčnice $\mathrm{tg}\,\varphi=\lim\limits_{\alpha\to\varphi} \mathrm{tg}\,\alpha=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

Derivacia1

Fyzikálna interpretácia (okamžitá rýchlosť) derivácie funkcie

Okamžitá rýchlosť $v(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0} \overline{v}(t)=\lim\limits_{t\to t_0} \frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$.

NPextremu

Nutná podmienka existencie extrému

Ak má funkcia $f$ v bode $c\in D(f)$ (vnútornom) lokálny extrém a $f'(c)$ existuje, potom platí $f'(c)=0$, t.j. dotyčnica v bode $c$ grafu funkcie $f$ je rovnobežná s osou$x$.

NPextremu

Postačujúca podmienka existencie extrému

Ak je funkcia $f$ v ľavom okolí bodu $x_0$ rastúca (resp. klesajúca) a v pravom okolí bodu $x_0$ klesajúca (resp. rastúca), potom má v bode $x_0$ ostré lokálne maximum (resp. ostré lokálne minimum).

Funkciamonotonnost

Vzťah medzi monotónnosťou a deriváciou funkcie

Spojitá funkcia $f$ je na intervale $I\subset D(f)$ konštantná, ak pre všetky $x\in I$ platí $f'(x)=0$. Funkcia $f$ je na $I$ rastúca (resp. neklesajúca), ak $\forall x\in I$ platí $0\lt f'(x)$ (resp. $0\le f'(x)$). Funkcia $f$ je na $I$ klesajúca (resp. nerastúca), ak $\forall x\in I$ platí $0\gt f'(x)$ (resp. $0\ge f'(x)$).

vetarolle

Rolleho veta o strednej hodnote

Ak je funkcia $f$ spojitá na $\langle a, b\rangle$, $f(a)=f(b)$ a pre všetky $x\in(a,b)$ existuje $f'(x)$ (aj nevlastná), potom existuje aspoň jedno $c\in(a,b)$ také, že $f'(c)=0$, t.j. dotyčnica v bode $c$ ku grafu funkcie $f$ je rovnobežná s osou$x$.

vetalagrange

Lagrangeova veta o strednej hodnote

Ak je funkcia $f$ spojitá na $\langle a, b\rangle$ a pre všetky $x\in(a,b)$ existuje $f'(x)$ (aj nevlastná), potom existuje aspoň jedno $c\in(a,b)$ také, že $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, t.j. dotyčnica v bode $c$ ku grafu funkcie $f$ je rovnobežná s priamkou spájajúcou body $[a,f(a)]$ a $[b,f(b)]$.

Legetøj og BørnetøjTurtle