Kužeľosečky

Pre animované PDF súbory je najlepšie použiť Adobe Reader

(iné programy, resp. zásuvné moduly preliadača nemusia postačovať a súbor nemusí byť úplne funkčný)

Kužeľosečky sú najznámejšie krivky a patria sem parabola, kružnica, elipsa, hyperbola (vlastné, resp. nedegenerované kužeľosečky) a priamka (nevlastná, resp. degenerovaná kužeľosečka).

Parabola  [Kružnica] [Elipsa] [Hyperbola]

Parabola je rovinná krivka definovaná ako množina bodov $X=[x,y]$ v rovine, ktoré majú od pevne daného bodu $F$ (ohnisko paraboly) a pevne danej priamky $r$ (riadiaca, resp. direkčná priamka paraboly) rovnakú vzdialenosť. Vzdialenosť $p=|Fr|$ nazývame parameter paraboly, vzdialenosť $p/2$ nazývame poloparameter paraboly. Priamka $o$, ktorá prechádza ohniskom $F$ a je kolmá na riadiacu priamku $r$, sa nazýva os paraboly. Priesečník $V$ paraboly s osou $o$ sa nazýva vrchol paraboly. Pri analytickom vyjadrení pripúšťame $p<0$. V tomto prípade je táto parabola stredovo súmerná podľa spoločného vrchola $V$ s parabolou s parametrom $-p>0$.

Ak je v karteziánskom systéme súradníc parabola $k_y$ s vrcholom $V=[c,d]$ orientovaná tak, že jej os je rovnobežná so súradnicovou osou $y$, potom ohnisko má súradnice $F=[c,d+p/2]$, riadiaca priamka má rovnicu $y=d-p/2$ a parabola je implicitne určená vzťahom

      $k_y\colon (x-c)^2+\big(y-d-\frac{p}{2}\big)^2=\big(y-d+\frac{p}{2}\big)^2$,      t. j.     $2p(y-d)=(x-c)^2$

a explicitne vzťahom

$k_y\colon y=d+\frac{(x-c)^2}{2p}$, $x\in R$.

Ak je v karteziánskom systéme súradníc parabola $k_x$ svrcholom $V=[c,d]$ orientovaná tak, že jej os je rovnobežná so súradnicovou osou $x$, potom ohnisko má súradnice $F=[c+p/2,d]$, riadiaca priamka má rovnicu $x=c-p/2$ a parabola je implicitne určená vzťahom

      $k_x\colon \big(x-d-\frac{p}{2}\big)^2+(y-d)^2=\big(x-d+\frac{p}{2}\big)^2$,     t. j.     $2p(x-c)=(y-d)^2$

a explicitne vzťahmi (dve funkcie)

$k_x\colon y=d\pm\sqrt{2p(x-c)}$, $x\in\langle c,\infty)$ pre $p>0$, resp. $x\in(-\infty,c\rangle$ pre $p<0$.

Ak vrchol paraboly $V=[0,0]$ je v počiatku súradnicového systému, potom dostávame implicitné vzťahy

$k_y\colon 2py=x^2$,     $k_x\colon 2px=y^2$

a explicitné vyjadrenia

$k_y\colon y=\frac{x^2}{2p}$, $x\in R$,      $k_x\colon y=\pm\sqrt{2px}$,    $x\in\langle0,\infty)$ pre $p>0$, resp. $x\in(-\infty,0\rangle$ pre $p<0$.

Kružnica  [Parabola] [Elipsa] [Hyperbola]

Kružnica je rovinná krivka, ktorú definujeme ako množinu bodov $X$ v rovine, ktoré majú od daného, pevného bodu $S$ (stred kružnice) rovnakú vzdialenosť $r$ (polomer kružnice). Implicitne definujeme kružnicu $k$ so stredom v bode $S=[c,d]$ a polomerom $r>0$ v karteziánskom systéme súradníc rovnicou

$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2$,     resp.     $\frac{(x-c)^2}{r^2}+\frac{(y-d)^2}{r^2}=1$

a explicitne vzťahmi

$y=d\pm\sqrt{r^2-(x-c)^2}$,    $x\in \langle c\!-\!r,c\!+\!r\rangle$.

Na základe definície goniometrických funkcií sínus a kosínus má parametrické vyjadrenie uvedenej kružnice $k$ tvar

$x=c\!+\!r\cos{t}$,     $y=d\!+\!r\sin{t}$,     $t\in\langle0,2\pi)$,

pričom uhol $t=0$ zodpovedá polpriamke, ktorá začína v bode $S$ a je rovnobežná s kladnou poloosou $x$ a je rovnako orientovaná.

Ak stred kružnice $S=[0,0]$ je v počiatku súradnicového systému, potom dostaneme vyjadrenia

$x^2+y^2=r^2$, resp. $y=\pm\sqrt{r^2\!-\!x^2}$, $x\in\langle-r,r\rangle$, resp. $x=r\cos{t}$, $y=r\sin{t}$, $t\in\langle0,2\pi)$.

Elipsa  [Parabola] [Kružnica] [Hyperbola]

Elipsa

Hyperbola  [Parabola] [Kružnica] [Elipsa]

Hyperbola

• Nasl.