Cyklické krivky
Pre animované PDF súbory je najlepšie použiť Adobe Reader
(iné programy, resp. zásuvné moduly preliadača nemusia postačovať a súbor nemusí byť úplne funkčný)
Cykloida [Hypocykloida & Pericykloida] [Epicykloida]
Cykloida je rovinná krivka, ktorú pri kotúľaní kružnice $k$ po danej priamke opisuje daný bod $B$, ktorý je pevný vzhľadom na kružnicu $k$. Ak je danou priamkou os $x$, potom má parametrické vyjadrenie
$x=rt-c\sin{t}$, $y=r-c\cos{t}$, $t\in R$,
pričom $r>0$ je polomer kružnice, $c\ge0$ je vzdialenosť bodu $B$ od stredu kružnice $S$. Parameter $t$ zodpovedá orientovanému uhlu, ktorý zviera súradnicová os $y$ a priamka $SB$.
Pre $c\!>\!r$ sa cykloida nazýva predĺžená, pre $c\!=\!r$ sa cykloida nazýva obyčajná a pre $r\!>\!c\!\ge\!0$ sa cykloida nazýva skrátená. Pre $c\!=\!0$ sa cykloida redukuje na priamku rovnobežnú s danou priamou, pričom ich vzdialenosť je $r$.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Cykloida
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
Hypocykloida & Pericykloida [Cykloida] [Epicykloida]
Hypocykloida je rovinná krivka, ktorú pri kotúľaní kružnice $k$ po obvode vnútornej strany pevne danej kružnice $K$ (kružnica $k$ je vo vnútri kružnice $K$) opisuje daný bod $B$, ktorý je pevný vzhľadom na $k$. Pericykloida je rovinná krivka, ktorú pri kotúľaní kružnice $k$ po obvode vonkajšej strany pevne danej kružnice $K$ (kružnica $K$ je vo vnútri kružnice $k$) opisuje daný bod $B$, ktorý je pevný vzhľadom na $k$. Ak zvolíme karteziánsky systém tak, aby bol jeho počiatok $O$ totožný so stredom pevnej kružnice $K$, stred $S$ otáčajúcej sa kružnice $k$ ležal na začiatku pohybu na kladnej polosi $x$ a taktiež bod $B$ ležal na začiatku pohybu na kladnej poloosi $x$ (pričom vzdialenosti $|OS|\!<\!|OB|$), potom má parametrické vyjadrenie
$x=(R-r)\cos{\frac{rt}{R}}+c\cos{\frac{(R-r)t}{R}}$, $y=(R-r)\sin{\frac{rt}{R}}-c\sin{\frac{(R-r)t}{R}}$, $t\in R$,
pričom $R >0$ je polomer pevnej kružnice $K$, $r>0$ je polomer otáčajúcej sa kružnice $k$ ($r\!<\!R$ pre hypocykloidu a $R\!<\!r$ pre pericykloidu), $c\ge0$ je vzdialenosť bodu $B$ od stredu $S$ kružnice $k$. Parameter $t$ zodpovedá orientovanému uhlu, ktorý zviera spojnica stredov kružníc $k$ a $K$ s priamkou $SB$.
Ak označíme $\varphi$ uhol otočenia bodu $S$ od začiatku otáčania okolo počiatku (uhol kladnej polosi $x$ s polpriamkou $OS$), potom dĺžka $rt$ oblúka kružnice $k$ zodpovedajúceho uhlu $t$ je rovná dĺžke $R\varphi$ oblúka kružnice $K$ zodpovedajúceho uhlu $\varphi$. Potom $t=\frac{R\varphi}{r}$ a ekvivalentné parametrické vyjadrenie má tvar
$x=(R-r)\cos{\varphi}+c\cos{\frac{(R-r)\varphi}{r}}$, $y=(R-r)\sin{\varphi}-c\sin{\frac{(R-r)\varphi}{r}}$, $\varphi\in R$.
Pre $c\!>\!r$ sa hypocykloida nazýva predĺžená a pericykloida skrátená, pre $c\!=\!r$ sa hypocykloida/pericykloida nazýva obyčajná a pre $r\!>\!c\!\ge\!0$ sa hypocykloida nazýva skrátená a pericykloida predĺžená. Pre $c\!=\!0$ sa hypocykloida/pericykloida redukuje na kružnicu sústrednú s kružnicou $K$ a polomerom $|R\!-\!r|$.
Ak je pomer $m=\frac{R}{r}$ prirodzené číslo, potom je hypocykloida (taká pericykloida neexistuje) uzavretá krivka a splynie do $m$ súvislých oblúkov a stačí ju definovať na intervale dĺžky $2m\pi$ pre $t$ (1. tvar), resp. dĺžky $2\pi$ pre $\varphi$ (2. tvar).
Potom platí $R=mr$, $R-r=(m-1)r$ a parametrické vyjadrenie má tvar
$x=(m-1)r\cos{\frac{t}{m}}+c\cos{\frac{(m-1)t}{m}}$, $y=(m-1)r\sin{\frac{t}{m}}-c\sin{\frac{(m-1)t}{m}}$, $t\in\langle0,2m\pi\rangle$,
resp.
$x=(m-1)r\cos{\varphi}+c\cos{(m-1)\varphi}$, $y=(m-1)r\sin{\varphi}-c\sin{(m-1)\varphi}$, $\varphi\in\langle0,2\pi\rangle$.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=2r$ (deltoida)
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=3r$ (asteroida, hviezdica)
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=4r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=5r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=6r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=7r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=8r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=9r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
Ak je pomer $m=\frac{R}{r}$ racionálne číslo (nie prirodzené) v základnom tvare $m=\frac{p}{q}$ ($p,q\in N$ nesúdeliteľné), potom je hypocykloida/pericykloida uzavretá krivka a splynie do $p$ súvislých oblúkov a stačí ju definovať na intervale dĺžky $2p\pi$ pre $t$ (1.tvar), resp. dĺžky $2q\pi$ pre $\varphi$ (2. tvar).
Potom platí $R=\frac{pr}{q}$, $R-r=\frac{(p-q)r}{q}$ a parametrické vyjadrenie má tvar
$x=\frac{(p-q)r}{q}\cos{\frac{qt}{p}}+c\cos{\frac{(p-q)t}{p}}$, $y=\frac{(p-q)r}{q}\sin{\frac{qt}{p}}-c\sin{\frac{(p-q)t}{p}}$, $t\in\langle0,2p\pi\rangle$,
resp.
$x=\frac{(p-q)r}{q}\cos{\varphi}+c\cos{\frac{(p-q)\varphi}{q}}$, $y=\frac{(p-q)r}{q}\sin{\varphi}-c\sin{\frac{(p-q)\varphi}{q}}$, $\varphi\in\langle0,2q\pi\rangle$.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{3r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{4r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{5r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{5r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{5r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{6r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{7r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{7r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{7r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{7r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{7r}{6}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{8r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{8r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{8r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{9r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{9r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{9r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{9r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\frac{9r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{6}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{2r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{2r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{2r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{2r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{3r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{3r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{3r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{3r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{4r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{4r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{4r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{5r}{6}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{5r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{5r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{5r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{6r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{7r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{7r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{8r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
Ak je pomer $m=\frac{R}{r}$ iracionálne číslo, potom hypocykloida/pericykloida nie je uzavretá krivka a pozostáva z nekonečne veľa oblúkov.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\mathrm{e}\,r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\pi\,r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\sqrt2r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\sqrt3r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\sqrt5r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\sqrt7r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Hypocykloida $R=\sqrt{11}r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\mathrm{e}}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\pi}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\sqrt2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\sqrt3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\sqrt5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\sqrt7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Pericykloida $R=\frac{r}{\sqrt{11}}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!>\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!<\!r$) |
Epicykloida [Cykloida] [Hypocykloida & Pericykloida]
Epicykloida je rovinná krivka, ktorú pri kotúľaní kružnice $k$ po vonkajšej strane pevne danej kružnice $K$ opisuje daný bod $B$, ktorý je pevný vzhľadom na $k$. Ak zvolíme karteziánsky systém tak, aby bol jeho počiatok $O$ totožný so stredom pevnej kružnice $K$, stred $S$ otáčajúcej sa kružnice $k$ ležal na začiatku pohybu na kladnej polosi $x$ a taktiež bod $B$ ležal na začiatku pohybu na kladnej poloosi $x$ (pričom vzdialenosti $|OS|\!>\!|OB|$), potom má parametrické vyjadrenie
$x=(R+r)\cos{\frac{rt}{R}}-c\cos{\frac{(R+r)t}{R}}$, $y=(R+r)\sin{\frac{rt}{R}}-c\sin{\frac{(R+r)t}{R}}$, $t\in R$,
pričom $R >0$ je polomer pevnej kružnice $K$, $r>0$ je polomer otáčajúcej sa kružnice $k$, $c\ge0$ je vzdialenosť bodu $B$ od stredu $S$ kružnice $k$. Parameter $t$ zodpovedá orientovanému uhlu, ktorý zviera spojnica stredov kružníc $k$ a $K$ s priamkou $SB$.
Ak označíme $\varphi$ uhol otočenia bodu $S$ od začiatku otáčania okolo počiatku (uhol kladnej polosi $x$ s polpriamkou $OS$), potom dĺžka $rt$ oblúka kružnice $k$ zodpovedajúceho uhlu $t$ je rovná dĺžke $R\varphi$ oblúka kružnice $K$ zodpovedajúceho uhlu $\varphi$. Potom $t=\frac{R\varphi}{r}$ a ekvivalentné parametrické vyjadrenie má tvar
$x=(R+r)\cos{\varphi}-c\cos{\frac{(R+r)\varphi}{r}}$, $y=(R+r)\sin{\varphi}-c\sin{\frac{(R+r)\varphi}{r}}$, $\varphi\in R$.
Pre $c\!>\!r$ sa epicykloida nazýva predĺžená, pre $c\!=\!r$ sa epicykloida nazýva obyčajná a pre $r\!>\!c\!\ge\!0$ sa epicykloida nazýva skrátená. Pre $c\!=\!0$ sa epicykloida redukuje na kružnicu sústrednú s kružnicou $K$ a polomerom $R\!+\!r$.
Ak je pomer $m=\frac{R}{r}$ prirodzené číslo, potom je epicykloida uzavretá krivka a splynie do $m$ súvislých oblúkov a stačí ju definovať na intervale dĺžky $2m\pi$ pre $t$ (1. tvar), resp. dĺžky $2\pi$ pre $\varphi$ (2. tvar).
Potom platí $R=mr$, $R+r=(m+1)r$ a parametrické vyjadrenie má tvar
$x=(m+1)r\cos{\frac{t}{m}}-c\cos{\frac{(m+1)t}{m}}$, $y=(m+1)r\sin{\frac{t}{m}}-c\sin{\frac{(m+1)t}{m}}$, $t\in\langle0,2m\pi\rangle$,
resp.
$x=(m+1)r\cos{\varphi}-c\cos{(m+1)\varphi}$, $y=(m+1)r\sin{\varphi}-c\sin{(m+1)\varphi}$, $\varphi\in\langle0,2\pi\rangle$.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=r$ (kardoida, srdcovka)
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=2r$ (nefroida)
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=3r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=4r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=5r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=6r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=7r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=8r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=9r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
Ak je pomer $m=\frac{R}{r}$ racionálne číslo (nie prirodzené) v základnom tvare $m=\frac{p}{q}$ ($p,q\in N$ nesúdeliteľné), potom je epicykloida uzavretá krivka a splynie do $p$ súvislých oblúkov a stačí ju definovať na intervale dĺžky $2p\pi$ pre $t$ (1. tvar), resp. dĺžky $2q\pi$ pre $\varphi$ (2. tvar).
Potom platí $R=\frac{pr}{q}$, $R+r=\frac{(p+q)r}{q}$ a parametrické vyjadrenie má tvar
$x=\frac{(p+q)r}{q}\cos{\frac{qt}{p}}-c\cos{\frac{(p+q)t}{p}}$, $y=\frac{(p+q)r}{q}\sin{\frac{qt}{p}}-c\sin{\frac{(p+q)t}{p}}$, $t\in\langle0,2p\pi\rangle$,
resp.
$x=\frac{(p+q)r}{q}\cos{\varphi}-c\cos{\frac{(p+q)\varphi}{q}}$, $y=\frac{(p+q)r}{q}\sin{\varphi}-c\sin{\frac{(p+q)\varphi}{q}}$, $\varphi\in\langle0,2q\pi\rangle$.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{6}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{2r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{2r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{2r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{2r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{3r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{3r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{3r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{3r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{3r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{4r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{4r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{4r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{4r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{6}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{5r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{6r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{6r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{6}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{7r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{8r}{3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{8r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{8r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{8r}{9}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{9r}{2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{9r}{4}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{9r}{5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{9r}{7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{9r}{8}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
Ak je pomer $m=\frac{R}{r}$ iracionálne číslo, potom epicykloida nie je uzavretá krivka a pozostáva z nekonečne veľa oblúkov.
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\mathrm{e}}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\pi}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\sqrt2}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\sqrt3}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\sqrt5}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\sqrt7}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\frac{r}{\sqrt{11}}$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\mathrm{e}\,r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\pi\,r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\sqrt2r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\sqrt3r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\sqrt5r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\sqrt7r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
|
$c\ ?\ r$ |
$c\!=\!0$ |
$c\!=\!0.25r$ |
$c\!=\!0.5r$ |
$c\!=\!0.75r$ |
$c\!=\!r$ |
Epicykloida $R=\sqrt{11}r$
|
|
$c\!=\!1.25r$ |
$c\!=\!1.5r$ |
$c\!=\!2r$ |
$c\!=\!3r$ |
$c\!=\!4r$ |
$c\!=\!5r$ |
skrátená ($c\!<\!r$), resp.obyčajná ($c\!=\!r$), resp. predĺžená ($c\!>\!r$) |
